Conjectura de Poincaré: da concepção à solução de um Problema do Milênio

Autor: Roberto Akiba de Oliveira

Perito Criminal - Instituto de Criminalística - SP

 

Entre os grandes pesquisadores dos séculos XIX e XX, destaca-se o matemático e físico francês Jules Henri Poincaré (1854 - 1912). Seu trabalho forneceu notáveis contribuições nas áreas de matemática pura e aplicada, física matemática e mecânica celeste. Poincaré foi também um dos precursores da área de topologia, que é hoje um dos principais campos da matemática, e na qual está inserida a famosa conjectura de Poincaré.

Os objetos de análise desta conjectura são as variedades tridimensionais, que são formas topológicas que se caracterizam especialmente por serem localmente homeomorfas a um subespaço aberto do espaço real , isto é, cada parte destes objetos é equivalente ao nosso conhecido universo tridimensional. Da mesma maneira, definimos variedades n-dimensionais, para qualquer n inteiro positivo, como sendo aquelas cujas vizinhanças possuem correspondência com o espaço . Assim sendo, cada vizinhança de uma variedade bidimensional é equivalente ao plano real , e por isso elas têm uma representação gráfica bastante intuitiva, como a superfície de uma esfera, denotada por , ou a superfície idealizada de uma boia, denotada por .

Representações gráficas de e

No século XIX, a topologia das variedades bidimensionais já era bem conhecida. Era fato provado que duas superfícies eram homeomorfas, ou topologicamente equivalentes, se e somente se elas possuíssem o mesmo genus, o que se expressa informalmente como o mesmo número de furos. Assim, é homeomorfa a qualquer superfície que não tenha furos; por outro lado, não é homeomorfa a , pois contém um furo.

Já a topologia das variedades tridimensionais ainda era um mistério. Havia a dificuldade extra de não haver nem mesmo uma representação gráfica tridimensional para muitos destes objetos. Tomemos o exemplo da esfera tridimensional unitária, denotada por : ela é o lugar geométrico dos pontos (x,y,z,w) de tais que , e portanto faz parte do espaço real quadridimensional. E é uma variedade tridimensional, talvez o exemplo mais conhecido da classe. Como, então, estabelecer homeomorfismos entre e as demais variedades tridimensionais fechadas?

Poincaré encontrou a ferramenta correta para responder a esta questão: o conceito de espaços simplesmente conexos. Tais espaços são aqueles em que um caminho p de extremidades a e b pode ser continuamente deformado até se transformar em qualquer outros caminho q com as mesmas extremidades a e b. Voltando às variedades bidimensionais, o conceito é ilustrado da seguinte maneira: em , qualquer linha fechada (isto é, cujo ponto inicial coincida com o final) pode ser continuamente deformada até se tornar um único ponto, e sem sair de durante o processo; já em , há linhas fechadas que não podem ser continuamente deformadas em um único ponto sem sair desta superfície. Logo, é um espaço simplesmente conexo, enquanto não é.

Deste modo, Poincaré estabeleceu, em 1904, sua conjectura:

Se uma variedade tridimensional fechada é simplesmente conexa, então é homeomorfa à esfera tridimensional ?

Seguindo a conjectura, ele fez a seguinte observação: "Mais cette question nous entraînerait trop loin" (mas essa questão nos levaria longe demais). Sua intuição não poderia ter sido mais certeira. A resolução definitiva da conjectura só viria em 2003, quase um século após sua formulação. Os grandes matemáticos do século XX se debruçaram sobre a questão, produzindo uma sequência de avanços e resultados que muito desenvolveram a teoria da topologia das variedades e a matemática de modo geral.

Em 1961, o americano Stephen Smale provou a versão análoga da conjectura de Poincaré para variedades e esferas de dimensão maior ou igual a 5. Em 1982, o americano Michael Freedman provou a conjectura para a dimensão 4. Mas o problema original, na dimensão 3, persistia, tornando-se cada vez mais desafiador.

Em 2000, o Instituto Clay de Matemática anunciou os Sete Problemas do Milênio, sendo estes alguns dos mais difíceis problemas em aberto que os matemáticos tentaram solucionar ao longo do século XX. Como motivação extra, o Instituto Clay estabeleceu um prêmio de 1 milhão de dólares para a correta solução de cada um destes problemas. Merecidamente, a conjectura de Poincaré foi escolhida para ser um dos Problemas do Milênio.

E eis que, em uma série de artigos publicados em 2002 e 2003, o russo Grigori Perelman apresenta uma demonstração da conjectura de geometrização de Thurston, a qual implica como corolário a resolução da conjectura de Poincaré! Não só o resultado causou surpresa ao mundo matemático, mas também os meios utilizados para o atingir: utilizando ferramentas e conceitos de áreas bastante diversas, como geometrização, limites de espaços e equações diferenciais. A demonstração da conjectura foi verificada pela comunidade matemática internacional e considerada correta. Perelman foi contemplado com a Medalha Fields em 2006 e com o Prêmio do Milênio em 2010.

O matemático russo introduziu um conceito análogo à entropia termodinâmica, que mede o grau de desordem de um sistema físico, aplicando-o ao contexto topológico, a fim de medir a desordem na geometria global do espaço. Outra analogia física explorada na demonstração foi a da formação de singularidades em equações diferenciais, que encontra paralelo na formação dos buracos negros na evolução do Universo. Esta é uma característica de um grande resultado matemático: ele não se encerra em si; desenvolve outros campos da matemática e da Ciência, sendo neste caso a mecânica celeste, contribuindo e expandindo nossa compreensão de conceitos teóricos e do Universo. Como brilhante físico-matemático que era, Poincaré certamente ficaria admirado e orgulhoso da resolução de Perelman!

Os avanços decorrentes da demonstração revelam o vasto campo que há a se percorrer, abrindo caminhos antes desconhecidos e lançando um novo olhar a outros aparentemente consolidados. Ademais, ainda restam seis Problemas do Milênio em aberto e incontáveis conjecturas e teorias matemáticas a serem desenvolvidas e demonstradas, aguardando apenas nossa iniciativa e determinação a explorá-los.

 

 

Referências:

 

Munkres, James; "Topology"; second edition.

Site do Clay Mathematics Institute: http://www.claymath.org/